本篇文章主要总结了来自《离散数学及其应用》的第一章第一小结的内容。主要包括：
- 命题的一些基本概念
- 逻辑运算符及其运算规则
- 比特运算
命题的概念
命题就是就是一个陈述句，它或真（通常用T表示）或假（通常用F表示），但是不能又真又假。例如：北京是中国的首都。是一个真命题
北京是中国的首都吗？就不是一个命题
当一个命题不能被再次分解为其他命题的组合时，则称这个命题为一个原子命题，如上例即为一个原子命题，由两个或以上的命题通过逻辑运算符组合而成的命题，称为复合命题。
北京时中国的首都，并且华盛顿时美国的首都。就不是一个原子命题。
一个原子命题通常用一个字母来表示。例如我们可以使用p来表示北京是中国的首都这个命题。
逻辑运算符
逻辑运算符主要用来表示命题与命题直接的关系。
- 否定运算符：表示与命题p相反恶的情况，记作：┑p
如上例的否定为：北京不是中国的否定
其真值表为：
| p | ┑p |
|---|---|
| T | F |
| F | T |
- 合取：表示两个命题都为真才为真的情况。记作p∧q。
在计算机中通常用与（&）表示。符号可以看作时A没有中间一横。记作And
例如：北京是中国的首都，并且华盛顿是美国的首都。这是一个真命题
其真值表为：
| p | q | p∧q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
- 析取:表示两个命题中至少有一个为真的情况。记作p∨q
在计算机中用或（|）表示,
例如：北京是中国的首都，或者巴黎是美国的首都。这是一个真命题
其真值表为：
| p | q | p∨q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
- 异或：表示两个命题的真值不同才为真的情况，记作：记作p⊕q
例如：我可以吃一碗面或者一碗饭。
其真值表为：
| p | q | p⊕q |
|---|---|---|
| T | T | F |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
- 条件语句：表示p为真则q必为真。记作p→q。表示如果p，则q.p称为前提，q称为结论
在现实的应用中，条件语句常有如下变换表达形式：
1 | 1. 如果p，则q |
其真值表为：
| p | q | p→q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
条件语句只规定了，当p为真时，q必须为真，否者整个命题就会时一个假命题；但是条件命题并没有规定，p为假时，q必须为什么状态。所以当p为假时，无论q为何值，真个命题都是一个真命题。
条件语句还有三种衍生的命题：
1.逆命题：q→p称为p→q的逆命题
2.逆否命题：┑q→┑p称为p→q的逆否命题，与p→q由着相同的真值。
一个条件语句总是与它的逆否命题是等价的
3.反命题：┑p→┑q称为p→q的逆命题
- 双条件语句：表示只有当p、q具有相同的真值是才为真。记作：p↔q
生活中常将这种逻辑翻译为p当且仅当q
| p | q | p↔q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
运算符的优先级
一个复合命题通常由几个命题通过逻辑运算符链接。为了更好的将一个复合命题转换为符号表示的命题，而不至于产生歧义，于是规定了逻辑符的优先级：
| 运算符 | 优先级 |
|---|---|
| ┑ | 1 |
| ∧ | 2 |
| ∨ | 3 |
| → | 4 |
| ↔ | 5 |
例如：p→q∨r就相当于p→(q∨r)
比特运算
比特运算即计算机中的位运算。一个比特相当一个二进制位，1代表真，0代表假。这种只能表示真和假两种状态的取值情况，在计算机中由称为布尔量。一个十进制的数可以转换为一连串的二进制位，称位比特串。将两个比特串之间进行逻辑运算（通常只支持合取、析取和异或的计算）称为比特运算。例如：
01 1011 0110
11 0001 1101
——————
11 1011 1111 按位OR
01 0001 0100 按位AND
10 1010 1011 按位XOR
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